Fonaments Matemàtics

Crèdits
6
Tipus
Obligatòria
Requisits
Aquesta assignatura no té requisits , però té capacitats prèvies
Departament
MAT
Web
https://web.mat.upc.edu/fib/fm-gia/
A l'assignatura de Fonaments Matemàtics s'introdueix la notació i terminologia matemàtica, i es veuran els principals mètodes de demostració necessaris per seguir amb èxit un curs de matemàtiques. A més, s'introdueixen els continguts bàsics de la teoria de conjunts, fent èmfasi especial en els elements relacionats amb la combinatòria. Finalment, es fa una breu introducció a la teoria de grafs.

Professorat

Responsable

  • Mercè Mora Giné (merce.mora@upc.edu)
  • Montserrat Maureso Sánchez (montserrat.maureso@upc.edu)

Hores setmanals

Teoria
2
Problemes
2
Laboratori
0
Aprenentatge dirigit
0
Aprenentatge autònom
6

Competències

Competències Transversals

Transversals

  • CT6 [Avaluable] - Aprenentatge autònom. Detectar deficiències en el propi coneixement i superar-les mitjançant la reflexió crítica i l'elecció de la millor actuació per ampliar aquest coneixement.

    • Competències Tècniques Generals

    Genèriques

  • CG4 - Raonar, analitzant la realitat i dissenyant algoritmes i formulacions que la modelin. Identificar problemes i construir solucions algorísmiques o matemàtiques vàlides, eventualment noves, integrant el coneixement multidisciplinari necessari, valorant diferents alternatives amb esperit crític, justificant les decisions preses, interpretant i sintetitzant els resultats en el context de l'domini d'aplicació i establint generalitzacions metodològiques a partir de aplicacions concretes.

    • Objectius

    1. Conèixer i saber utilitzar la notació sumatori. Ser capaç de manipular expressions amb sumatoris.
      Competències relacionades: CG4,
      Subcompetences
      • Saber manipular expressions amb sumatoris dobles.
      • Conèixer les progressions aritmètiques i les progressions geomètriques. Saber calcular el terme general i la suma de termes consecutius d'aquestes progressions.
      • Conèixer el símbol de sumatori.
      • Saber manipular expressions amb sumatoris.
    2. Conèixer i saber utilitzar el llenguatge formal i el raonament matemàtic. Ser capaç d'entendre i de fer demostracions.
      Competències relacionades: CG4, CT6,
      Subcompetences
      • Conèixer els quantificadors universal i existencial.
      • Conèixer els principals mètodes de demostració.
      • Conèixer els principals connectius lògics.
      • Conèixer el principi d'inducció.
      • Ser capaç de fer demostracions matemàtiques senzilles.
    3. Conèixer el llenguatge de la teoria de conjunts.
      Competències relacionades: CG4,
      Subcompetences
      • Saber que el conjunt de les parts d'un conjunt amb les operacions unió i intersecció té estructura d'àlgebra de Boole.
      • Conèixer les operacions principals de conjunts (unió, intersecció, diferència, complementari, conjunt de les parts, producte cartesià).
      • Saber què són els nombres binomials i conèixer algunes de les seves propietats.
      • Saber què és el cardinal d'un conjunt.
    4. Conèixer les relacions d'equivalència.
      Competències relacionades: CG4,
      Subcompetences
      • Saber què és una relació binària.
      • Saber identificar les relacions binàries que són relacions d'equivalència.
      • Saber què són les classes d'equivalència i què és una partició. Conèixer la relació entre classes d'equivalència i particions.
    5. Conèixer les aplicacions.
      Competències relacionades: CG4,
      Subcompetences
      • Saber identificar una aplicació.
      • Saber calcular imatges i antiimatges per una aplicació.
      • Saber identificar si una aplicació és injectiva, exhaustiva i/o bijectiva.
      • Saber compondre aplicacions.
      • Saber què és la inversa d'una aplicació. Saber calcular la inversa, si existeix, en casos senzills.
    6. Conèixer els objectes bàsics de la combinatòria.
      Competències relacionades: CG4,
      Subcompetences
      • Conèixer el principi de les caselles.
      • Conèixer la definició de cardinal d'un conjunt i la diferència principal entre conjunts finits i infinits.
      • Conèixer i saber calcular el nombre de maneres de seleccionar objectes si es té en compte o no l'ordre dels elements, i si s'admet o no repetició d'objectes.
      • Saber calcular el nombre de configuracions amb determinades propietats.
    7. Conèixer el llenguatge de la teoria de grafs.
      Competències relacionades: CG4, CT6,
      Subcompetences
      • Saber identificar els grafs com a relació binària.
      • Saber identificar els arbres. Conèixer la caracterització i les propietats principals dels arbres.
      • Conèixer la terminologia principal de la Teoria de grafs.
      • Conèixer el Lema de les encaixades. Saber utilitzar-lo per a deduir propietats dels grafs.
      • Conèixer els diferents tipus de recorreguts en un graf. Saber calcular la distància entre dos vèrtexs. Saber calcular el diàmetre i el radi d'un graf. Saber trobar els components connexos d'un graf. Saber què són els vèrtexs de tall i les arestes pont.

    Continguts

    1. Formalisme i demostracions
      Notació sumatori. Manipulació de sumatoris. Sumatoris dobles. Progressions aritmètiques i geomètriques.
      Proposicions. Connectius lògics. Taules de veritat. Quantificadors. Mètodes de demostració. Principi d'inducció.
    2. Teoria de conjunts
      Conjunts. Cardinal d'un conjunt. Subconjunts. Representació d'un subconjunt com a paraula binària. Nombres binomials. Operacions amb conjunts: unió, intersecció, diferència, complementari, producte cartesià. Conjunt de les parts d'un conjunt.
      Relacions binàries. Relacions d'equivalència. Classes d'equivalència. Particions. Conjunt quocient.
      Aplicacions. Imatges i antiimatges. Composició. Aplicacions injectives, exhaustives i bijectives. Inversa.
    3. Combinatòria
      Cardinals. Conjunts finits i infinits. Principi de les caselles. Permutacions i combinacions amb i sense repetició. Nombres binomials. Permutacions de multiconjunts. Nombres multinomials. Principi d'inclusió-exclusió.
    4. Grafs
      Definició de graf. Maneres de representar un graf. Graus. Matriu d'adjacència. Lema de les encaixades. Isomorfisme de grafs. Operacions amb grafs. Recorreguts. Connexió. Distància. Vèrtexs de tall i arestes pont. Arbres. Arbres generadors.

    Activitats

    Activitat Acte avaluatiu


    Sumatoris

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i aplicar-los per fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    • Teoria: Teoria de Sumatoris
    Objectius: 1
    Continguts:
    Teoria
    2h
    Problemes
    2h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    6h

    Raonament

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    Objectius: 2
    Teoria
    4h
    Problemes
    4h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    12h

    Conjunts

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    Objectius: 3
    Continguts:
    Teoria
    2h
    Problemes
    4h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    12h

    Relacions d'equivalència

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    Objectius: 4
    Teoria
    2h
    Problemes
    2h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    6h

    Aplicacions

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    Objectius: 5
    Teoria
    2h
    Problemes
    2h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    6h

    Examen parcial

    Examen parcial corresponent a la primera part del curs.
    Objectius: 1 2 3 4
    Setmana: 8 (Fora d'horari lectiu)
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Combinatòria

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    Objectius: 6
    Continguts:
    Teoria
    5h
    Problemes
    8h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    12h

    Grafs

    L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
    Objectius: 7
    Continguts:
    Teoria
    8h
    Problemes
    8h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    16h

    Examen final

    Examen final sobre els continguts de la segona part del curs, però que pot requerir del coneixement i apicació dels mètodes vistos a la primera part del curs,
    Objectius: 1 2 3 4 5 6 7
    Setmana: 15 (Fora d'horari lectiu)
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Metodologia docent

    Les classes de teoria consistiran en l'exposició dels continguts teòrics juntament amb exemples i aplicacions.

    A les classes de problemes es resoldran es exercicis que hauran de preparar prèviament els estudiants.

    Mètode d'avaluació

    La nota de l'assignatura s'obtindrà a partir de:
    -un examen parcial, P;
    -un examen final, F;
    -la valoració del treball i l'assoliment d'objectius al llarg del curs, C.

    A l'examen parcial s'avaluaran els continguts de la primera part de l'assignatura.

    A l'examen final s'avaluaran principalment els continguts de la segona part de l'assignatura, però pot requerir aplicar coneixements i mètodes vistos a la primera part.

    Els exàmens parcial i final es faran fora d'hores de classe.

    A més, s'avaluarà el treball continuat de l'estudiant mitjançant qüestionaris i/o l'entrega de problemes realitzats en o fora d'hores de classe.

    L'avaluació de la competència transversal està inclosa en les proves abans indicades, ja que es requereix l'aplicació de la competència per assolir els objectius de l'assignatura.

    La nota final de l'assignatura serà:
    màx(0.30*P+0.50*F +0.20*C,F)
    on P, F i C són les notes sobre 10 dels exàmens parcial, final i del treball continuat, respectivament.

    La qualificació de no presentat (NP) s'atorgarà a l'estudiant que no s'hagi presentat ni a l'examen parcial ni a l'examen final.

    La nota de la competència transversal s'obté en funció de la nota final de l'assignatura segons la taula següent:
    A: de 8 a 10
    B: de 6.5 a 7.9
    C: de 5 a 6.4
    D: de 0 a 4.9
    NA: NP

    Reavaluació: només es poden presentar a la reavaluació aquelles persones que, havent-se presentat a l'examen final l'hagin suspès. La nota màxima que es pot obtenir a la reavaluació és un 7.

    Bibliografia

    Bàsic

    Complementari

    Web links

    Capacitats prèvies

    Se suposa que l'estudiant ha assolit els objectius i coneixements de les matemàtiques de l'educació secundària prèvia a l'accés a la universitat.